2.4 다항계수

이 글을 계속 읽고 있는 독자들이라면 자연히 좀 더 일반적인

   $(a+b+c+d+f+\cdots+)^n$

곱을 전개할 때의 계수들을 알고 싶을 것이다. 간단히 삼항식의 전개식에서 $a$가 $p$개, $b$가 $q$개, $c$가 $r$개인 항의 계수를 구해보자. 여기서  $p+q+r=n$이다.
   $T(a,b,c) = (a+b+c)\times (a+b+c)\times \cdots \times(a+b+c) = (a+b+c)^n$  
이 경우 그 계수는 이미 앞에서 설명한 다음 식으로 표현된다.

 

   $\displaystyle C(n,p)\times C(n-p,q)\times C(n-p-q,r) = \frac{n!}{p!q!r!} = P(n; p,q,r)$

 

그 이유에 대해 다시 생각해 본다. 

 

분배법칙에 의한 삼항식의 전개에서 서로 다른 $n$개의 각 인수 $(a+b+c)$중에서 $a$를 선택할 것을 $p$개 고른 후, 나머지 인수 $(n-p)$개에서 $b$를 선택할 것을 $q$개 고른다. 그리고 마지막으로 남은 인수 $(n-p-q)$개에서 $c$를 선택할 것을 $r$개 고르면 된다. 즉, 일렬로 나열된 서로 다른 $n$개의 상자에 $a$를 놓을 곳을 $p$개, $b$를 놓을 곳을 $q$개, $c$를 놓을 곳을 $r$개 선택하는 것과 같다. 이것은 또한 $n$개의 대상 중 같은 것을 종류별로 각각 $p$개, $q$개, $r$개 포함하는 순열 즉, $a$가 $p$개, $b$가 $q$개, $c$가 $r$개인  배열과 '일대일 대응'이다.

 

이것을 일반화하면 다항계수는 
   $n=n_1 + n_2 +\cdots +n_k$ (단, $n_i$ 는 음이 아닌 정수)
일 때, 
   $P(n; n_1 ,n_2, \cdots,n_k)$
임을 알 수 있다.