1.6 같은 것을 포함하는 순열

같은 것을 포함하는 순열

$n$개의 대상 중 $p$개, $q$개, $r$개$(p+q+r=n)$씩 각각 종류별로 '서로 같은 것을 포함하는 순열'의 수는 '곱의 법칙'에 의해

   $P(n; p,q,r) = C(n,p)\times C(n-p,q)\times C(n-p-q,r)$   

이다.  이미 앞에서 설명하였듯이 (1.5 중복순열과 중복조합) 서로 다른 $n$개의 자리 중에서 $p$개를 선택하고, 그 이후 남은 $(n-p)$개의 자리 중에서 $q$개를 선택한다. 그리고 마지막으로 남은 $r$개를 선택한다. 이 과정에서 얻은  각각의 결과들은 연속적인 사건으로 '곱의 법칙'에 의해 위와 같은 최종적인 결과를 얻게 된다.

 

앞에서 논의한 '순열의 수'로부터 '같은 것을 포함하는 순열의 수'를 계산할 수도 있다.

 

일단, $p$개, $q$개, $r$개씩 종류별로 같은 것들을 서로 다른 것으로 간주하고 나열할 때, 순열의 수는
   $P(n,n)=n!$
이다. 이 대상들 중 '같은 것을 포함하는 순열'에서 차이가 없는 것들을 하나의 묶음 안에 두면 각 묶음은 정확히
   $p!q!r!$
개의 대상들을 포함한다(왜일까?). 따라서 '같은 것을 포함하는 순열의 수'는    

   $\displaystyle P(n; p,q,r) = \frac{n!}{p!q!r!}$

이다. 따라서 우리는
   $\displaystyle C(n,p)\times C(n-p,q)\times C(n-p-q,r) = \frac{n!}{p!q!r!}$

임을 알 수 있다.  우리는 대수적으로 좌변에서 우변으로의 계산 과정 없이 이 둘이 서로 같음을 알게 되었지만, 실제로 확인을 위해 위의 식을 계산해 보기 바란다.

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수학에서 수식은 생명을 담고 있는 씨앗과도 같다. 그러나 그 생명이 무엇인지 알지 못하고 꽃을 피운 들 무엇하랴. 그렇게  쓸모없이, 이름 없이 죽어간 숱한 지식들의 무덤이 황량하다. 내가 온전히 소화하지 못한 지식들은 결국 나를 살찌우지 못했다. 아는 것도 모르는 것도 아닌 불완전한 상태로 나를 불안하게 한다. 차라리  잊혀지고 배설되는 것이 좋을까? 언젠가 다시 씹고 삼켜 볼 수 있을까? 인생은 참 짧다. 지금이 집중해야 할 순간이다.

 

조 나누기

서로 다른 $n$개의  대상을 $p$개, $q$개, $r$개의 조로 나누는 방법의 수 또한, 결국

   $P(n; p,q,r)$

이다. 서로 다른 $n$개의 대상을 3개의 조로 나눌 때, 같은 조에 있는 것들을 같은 종류로 취급하면 결국 $n$개 의 대상 중 $p$개, $q$개, $r$개씩 '서로 같은 것을 포함하는 순열'이다.

 

이것은 Counting에서 사건의 대상을 바라보는 새로운 관점의 중요성을 인식하는 하나의 예임이 분명하다.

 

만일 위의 예에서 $p=q$라면 이때 조를 나누는 방법의 수는 무엇일까? 아마도 이미 정답을 외친 독자들이 있을 것이다. 구하는 정답은

   $\displaystyle \frac{P(n; p,q,r)}{2!}$

이다. 이것에 대한 이유는 앞의 내용들을 통해 스스로 충분히 알 수 있으므로 생략한다.

 

서로 의미는 같지만 새로운 다른 표현을 생각하는 것은 다양한 상황에서

그에 적합한 표현식과 우아한 해결책을 제시한다.

 

새로운 것, 우아한 것, 아름다운 것에 대한 갈망은 인간이 가진 고유한 지적 활동 영역이다. 건조하게 느껴지는 수학의 영역에서 '아름답다'라는 표현이 가능할까? 감성의 영역이 다소 주관적일지라도 우리가 느끼는 대부분의 아름다움은 사실 수학을 바탕으로 하고 있다. 음악이 그러하고, 예술이나 건축이 그러하다. 그리고 자연 속의 생명 현상이 그러하다.