1.4 원순열

서로 다른 $n$개의 대상들을 원형으로 배열하는 '원순열'의 수

$O(n)$

에 대해 생각해 보자. 일단, 서로 다른 $n$개의 대상들을 나열하는 순열의 수는 다음과 같다.

$P(n,n) = n!$

이제 각각의 순열을 처음과 끝이 이어지도록 원형으로 다시 배열하여 셈하면 그것이 바로 원순열의 수이다.

긴 뱀이 자신의 꼬리를 물기 위해 원형으로 회전하고 있는 것을 상상해 보라.

앞에서와 마찬가지로 $P(n,n)$개의 대상들 중 원순열에서 서로 차이가 없는 것들을 하나의 묶음 속에 두면 각 묶음들은 정확히 n개의 대상들을 포함(왜일까?)하므로

$\displaystyle O(n) = \frac{P(n,n)}{n} = \frac{n!}{n} = (n-1)!$

임을 알 수 있다.

처음 시작은 '곱의 법칙'을 활용한 순열의 수였다는 것을 생각해 보라. 주어진 조건에 따라 대상들의 차이를 인식하여 구별하는 일은 매우 중요하다.

그것은 탁월한 능력이 아니라 누구나 접근 가능한 지적 활동 영역이다.

이 정도는 그저 단순한 추론과 분석에 의한 결과에 불과하다. 혹시 당신의 인내심을 시험하는 수준에 도달하게 되더라도 글을 계속 읽어 나가자. 수학에 무관심했던 당신의 두뇌가 생각보다 더 수학적이라는 사실에 놀랄지도 모를 일이다.

살아보지 않고는 그 인생을 알 수 없듯이 해보지 않으면 당신의 능력을 알 수 없다.

'원순열'의 수를 구하는 또 다른 아이디어를 생각해 보자. $n$개의 원형 좌석을 배치한 후 n명의 사람을 자리에 앉도록 하는 상황을 생각한다.

이러한 상황적 묘사는 수학의 활동성을 증대시키고 실험적 호기심을 자극한다.

이 실험을 시각화하기 위해서 연필과 종이를 준비하는 것도 좋다. n개의 자리를 적당히 원형으로 나열하고 사람들은 숫자로 구별하면 된다. 일단 임의의 자리에 한 명을 미리 앉도록 하는 것이 현명할 것이다.

회전하는 뱀의 머리를 상상해 보라!

한 명을 어느 좌석에 앉게 하든지 전혀 상관이 없다(why?).

그러나 만일 좌석의 배치가 사각형이거나 삼각형이라면 이 경우, 한 명을 미리 앉게 하는 자리의 위치를 고려해야 한다. 그다음 $(n-1)$개의 자리에 $(n-1)$명의 사람을 앉게 하는 순열을 생각하면 충분하다. 따라서 원순열의 수는 다음과 같다.

$O(n) = P(n-1,n-1) = (n-1)!$

SpACE 417