1.2 합의 법칙과 곱의 법칙

$A$라는 사건과 $B$라는 사건이 서로 동시에 일어나지 않는다면, 달리 말해  두 사건의 발생이 서로 배타적이라면 각 사건의 발생이 각각 $a$가지, $b$가지일 때,  사건 $A$ 또는 사건  $B$가 발생하는 방법의 수는

  $a+b$

이다.  이것을 '합의 법칙'이라 한다.

 

간단한 예로 수학책 3권과 영어 2권 중에서 1권을 고르는 방법의 수는 수학책을 고르는 것과 영어책을 고르는 사건이 동시에 이루어질 수 없으므로 구하고자 하는 값은 3+2이다.

 

만일  사건 $A$와 $B$가 연속적인 사건이라면 사건 $A$와 사건 $B$가 동시에 발생하는 방법의 수는

  $a\times b$

이다. 이것을 '곱의 법칙'이라 한다.

 

이것은 구조적으로 

사건  $A$가 $a$가지 방법으로 발생하고, 이 각각에 대하여  사건 $B$가 $b$가지 방법으로 발생할 때, 

두 사건 $A$와 $B$가 동시에 발생하는 방법의 수이다.

 

간단한 예로 서울에서 경주로 가는 서로 다른 경로가 3가지 $\big\{1,2,3 \big\}$이고, 경주에서 부산을 가는 서로 다른 경로가 2가지 $\big\{x,y \big\}$일 때, 우리는 '곱의 법칙'에 의해 서울에서 경주를 거쳐  부산을 가는 방법의 수가 3×2가지임을 알 수 있다.

 

서울에서 경주, 경주에서 부산 가는 경로는 서로 연속적 동시성을 갖는 사건이고, 이것은 다음과 같은 구조를 갖는다.

  $(1, x), (1, y)$

  $(2, x), (2, y)$

  $(3, x), (3, y)$

 

수학책 3권과 영어책 2권 중 수학책과 영어책을 각각 한 권씩 고르는 방법의 수 또한 위의 예와 같은 구조를 가진다. 수학책과 영어책을 각각 한 권씩, 총 2권 고르는 것은 연속적 동시성이다.

 

       "왼손으로 수학책을, 오른손으로 영어책을 한꺼번에 선택할 수 있잖아요?"

 

라고 진지하게 말하지 않기를 바란다.  

 

우리의 행위가  설령 그럴지라도,

 

이러한 행동의 분명한 수학 구조는 수학책을 고르는 사건과 영어책을 고르는 사건의 연속된 전개이다. 즉,

   (수학책, 영어책)  (또는 (영어책, 수학책))

의 순서쌍으로 이루어진다.

 

'합의 법칙'에서 두 사건  $A, B$가 동시에 일어날 경우가 발생한다면, 이것은 사건 $A$에도 속하고 사건 $B$에도 속하는 대상이 존재하는 것을 의미한다. 이것은 집합적 동시성으로 이때,  사건 $A$ 또는 $B$에 속하는 경우의 수는

   $a+b - n(A\cap B)$

이다. 여기서 $n(A\cap B)$는 사건 $A$와 사건 $B$에 공통으로 속하는 대상의 수이다.

이 공식은 3장에서 설명하게 될 '포함과 배제의 원리(3.1 포함과 배제의 원리)'의 기초 개념이기도 하다.